Buen día.
Esta semana tocamos el tema de los sistemas caóticos. Estos sistemas son muy importantes por que se encuentran en todos lados, por ejemplo en el ritmo del latido del corazón, en la dinámica de crecimiento poblacional, en el flujo de movimiento del agua de un río, etc.
La principal característica de estos sistemas caóticos es que estos tienen un alto grado de sensibilidad a las condiciones iniciales, por lo que si se intenta modelar y predecir, un pequeño cambio en las variables iniciales o las condiciones, hacen que los resultados cambien significativamente, un ejemplo de esto es el valor del dolar respecto al euro. Donde como se puede ver en la siguiente gráfica resultaria dificil modelar una función para tratar de estimar a largo plazo cual sería su valor.
Definición del caos de Devaney(1986):
Según este personaje el caos tiene tres componentes:Transitividad
Dadas dos zonas cualesquiera del espacio donde esta definidala función, existe un punto en la primera zona cuya órbita visita, en algún
momento, la segunda.
Dependencia sensible a las condiciones iniciales
Supongamos que x0 es un punto fijo un intervalo. Si para puntos cercanosa x0 observamos que sus órbitas se mantienen , para toda iteración del intervalo,
cercanas a x0, entonces diremos que x0 es un punto fijo estable. Digamos que
nuestra idea de estabilidad en un punto fijo se refiere a que el comportamiento
de todas las órbitas que inician cerca de él se comportan casi como órbitas
de puntos fijos.
Densidad en el conjunto de puntos periódicos
Lo cuál quiere decir que cada punto en un intervalo de números reales existe en un conjunto de números periódicos (Puntos que vuelven a aparecer después de cierta iteración).Automatas ceulares
Un modelo automata celular es un modelo que se representa una malla de células donde cada celula en un tiempo discreto finito puede tener un valor de 1 o 0. La función de su siguiente estado, depende directamente de la cantidad de vecinos y su valor.
Los autómatas celulares pueden ser de cualquier dimensión y no necesariamente tienen que se representados con cubos o tablas, podrían representarse con cualquier grafo y los autómatas pueden ser fácilmente utilizados para simular un sistema.
[imagenes obtenidas de: https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgHxlYU92r3RjKD1yrGUQM7YfQEbc2ayIaMupQnzVNxNl08KxAv_0GfDkBo5X3-WNsjCbEb2YO-ZWuIBU-4lmcsGYsAfU7WHu1XpuExnttCqRDgiTlH65vQlo51VLPzBnPe1YtcsP36qJyY/s400/ca_sur_06.jpg y http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/86/Oscillator.gif]
El juego de la vida es un automata ceulular creado en 1970 por el matematico britanico John Horton Conway. Este juego es de cero personas esto quiere decir que para interactuar con el se crean configuraciones iniciales y se obserban como avanzan en tiempos discretos.
Reglas del juego
El juego representa seres vivos que interactuan entre si, se representa por medio de una malla cuadrada de dos dimensiones, y cada celula puede tener dos estados, vivo o muerto. El sistema avanza en estados discretos y el estado siguiente de cada celula depende de la cantidad de vecinos en un estado anterior.
Las reglas del juego son las siguientes.
- Cada célula viva con menos de dos vecinos vivos, muere por desolación.
- Cada célula viva con dos o tres vecinos vivos sobrevive al siguiente estado.
- Cada célula viva con mas de tres vecinos vivos muere por sobrepoblación.
- Cada célula muerta con exactos tres vecinos vivos se convierte en una célula viva, por que se reproducen.
function calcular_vecinos(filas, columnas, i, j, matrix, vecinos){
vecinos[i][j] = 0;
for( var i2 = i-1; i2<=i+1; i2++){
for( var j2 = j-1; j2<=j+1; j2++){
if( (i2>=0) && (j2>=0) && (i2 if( ( matrix[i2][j2] == 1 ) && ( (i2 != i) || (j2 != j) ) )
vecinos[i][j] = vecinos[i][j]+1;
}
}
}
return vecinos;
}
function siguiente_estado(filas, columnas, matrix, vecinos){
for( var i = 0; i< filas; i++){
for( var j = 0; j< columnas; j++){
vecinos = calcular_vecinos( filas, columnas, i, j, matrix,vecinos);
}
}
for( i = 0; i < filas; i++){
for( j = 0; j < columnas; j++){
if( matrix[i][j] == 1 ){
if((vecinos[i][j] < 2) || (vecinos[i][j] > 3) )
matrix[i][j] = 0;
}else{
if(vecinos[i][j] == 3)
matrix[i][j] = 1;
}
}
}
return matrix;
}
function dibujar(){
for( var i=0; i for( var j=0; j if( matrix[i][j] == 1){
context.fillRect( (i*pixel)+0.5, (j*pixel)+1.5, pixel, pixel);
}
}
}
}
function clickListener(e) {
if(activo == 0){
espera();
activo = 1;
}else{
activo = 0;
}
}
var filas = 200;
var columnas = 100;
var matrix = Array(filas);
var vecinos = Array(filas);
var pixel = 2;
for(var i=0; i matrix[i]=Array(columnas);
vecinos[i] = Array(columnas);
for( var j=0; j matrix[i][j]=0;
vecinos[i][j]=0;
}
}
for( i=0; i for( j=0; j if(Math.random()<0.40)
matrix[i][j]=1;
}
}
canvasElement = document.createElement("canvas");
canvasElement.id = "cosa";
document.body.appendChild(canvasElement);
var canvas = document.getElementById("cosa");
canvas.width = 1+(filas*pixel);
canvas.height = 1+(columnas*pixel);
var context = canvas.getContext("2d");
context.fillStyle = '#F0DB4F';
context.fillRect(0,0, canvas.width,canvas.height);
context.lineWidth = 3;
context.strokeStyle = 'black';
canvas.addEventListener("click", clickListener, false);
var activo = 0;
function espera(){
canvas.width = 1+(filas*pixel);
canvas.height = 1+(columnas*pixel);
dibujar(matrix, pixel);
if( activo == 1)
matrix = siguiente_estado(filas, columnas, matrix, vecinos);
setTimeout("espera()", 400)
}
-
Ahora como ya sabemos un modelo caotico es muy sencible a un cambio en las condiciones iniciales (en este caso la configuración inicial) Para demostrar que el sistema elegí una plantilla del juego de la vida llamada "beacon" despues para comparar sus secuencias coloque una copia exacta de esta y agregue un pixel de mas, y en este link se muestra( dar click al cuadro amarillo para empezar la simulación y otro click para detenerla):
http://www.maxkalavera.iblogger.org/sensibilidad.html
Como podemos ver las secuencias cambian de forma drastica por un lado una configuración permanece ciclica cambiando cada estado, en cambio la otra imagen permanece inmóvil.
Por ultimo utilice valores aleatorios para generar una configuración inicial y el resultado son grupos de células con caracteristicas en sus secuencias diferentes para cada una, algúnas se repiten, otras cambian constantemente y otras solamente quedan inmóviles hasta que otro grupo interactué con ellas haciendo dificil predecir su comportamiento en un futuro relativamente lejano, muy similiar a lo que sucede en poblaciones de personas ( dar click al cuadro amarillo para empezar la simulación y otro click para detenerla).
http://www.maxkalavera.iblogger.org/conway_game_of_life.html
Referencias:
http://www.clausewitz.com/Complex/ChaosDemos.htm
http://www.dynamics.unam.edu/NotasVarias/intro-sistemas.pdf http://books.google.com.mx/books?id=Hjua2EpKkKQC&pg=PA99&lpg=PA99&dq=simulation+heat+chaos&source=bl&ots=HMhTRO0aMt&sig=tivXw1cA90IDB8bhcIPRAedAxsI&hl=es&sa=X&ei=8fqRT9HOHqbC2wWGpdDoBA&ved=0CCkQ6AEwAQ#v=onepage&q=simulation%20heat%20chaos&f=false http://en.wikipedia.org/wiki/Conway%27s_Game_of_Life
http://en.wikipedia.org/wiki/Cellular_automaton
