Problema a analizar:
Dos jugadores de poker empiezan una partida amistosa, Alice y David. Alice reparte las cartas y se da cuenta que su mano muy buena( póker) y entre sus cartas un 9 de treboles. Por otro lado David recibe una mano bastante peculiar, un Rey, una Quina, un Joto todos de treboles y un 2 de diamantes. Como puede observarse es una mano muy buena pero necesita un As de treboles y para vencer a Alice. Despreciando la idea de que Alice tambien puede pedir cartasy el final del juego. ¿Cuál es la probabilidad de que david saque un As de treboles del mazo?, ¿Cuál es la probabilidad de que lo haga en el siguiente turno si la carta obtenida anteriormente se introduce de nuevo en el mazo y se barajea el mismo? y ¿Cúal es la probabilidad de que lo haga en el siguiente intento?.
¿Qué es una distribución de probabilidad?
Una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. El rango de esta función constituye todos los sucesos que puedan ocurrir en el conjunto o en la situación analizada.
Los tipos de distribuciones son los siguientes:
Distribuciones discretas:
Se consideran distribuciones discretas las cuáles su función solo puede tomar valores positivos, finitos o finitos númerables.
Entre las mas comunes se encuentran:
- Distribución de Bernoulli: Donde se mide la probabilidad de exito a fracaso de un suceso.
- Distribución binomial: Donde se mide la probabilidad de exito o fracaso en sequencia una cantidad determinada de veces.
- Distribución binomial negativa: Donde se mide la probabilidad de que en un número determinado de intentos obtener otra cantidad determinada de exitos.
- Distribución Poisson: Donde se mide la probabilidad de que un numero de eventos ocurran en tiempos especificos.
- Distribución geométrica
- Distribución hipergeométrica
Distribuciones continuas:
Se consideran distribuciones continuas las cuáles su función puede tomar valores infinitos dentro de un intervalo definido.
Entre las mas comunes se encuentran:
- Distribución exponencial
- Distribución normal
- Distribución uniforme (continua)
- Distribución F
Distribución geométrica
Esta distribución analiza el numero de ensayos de Bernoulli que se necesitan para llegar al primero éxito. Su rango va desde uno hasta el infinito, puesto que por lógica debe haber al menos un intento y los intentos pueden ser ilimitados. Como los intentos pueden ser ilimitados, se puede verificar que si se suman los valores de la función de uno al infinito esta suma tiene como resultado uno.
Su formula de probabilidad es la siguiente:
Para x=1,2,3...
Donde "p" es la probabilidad de éxito y "q" que es "q=(1-p)" la probabilidad de fracaso, como uno es la probabilidad total a esta se le resta la probabilidad de éxito y lógicamente esta probabilidad que queda es la de fracaso.
La formula del valor esperado es :
Ahora volviendo al problema de la partida de póker
para analizar el problema primero obtendremos la probabilidad de que en un ensayo de Bernoulli haya un éxito o un fracaso, primero definimos el éxito: Un mazo de cartas tiene 52 cartas pero diez de estas ya están en manos de los contrincantes por lo tanto no las tomaremos en cuenta, eso nos deja 42 cartas de las cuales solo nos es útil entonces la probabilidad de acierto es 1/42.
Entonces "p = 1/42" lo cuál hace que :
q = (1-(1/42)) = 42/42 - 1/42 = 41/42Sustituyendo esto en la formula:
P(x) = ((41/42)^0)*(1/42) = 1/42
Puesto que en el primer intento la probabilidad de éxito es la misma que un solo ensayo de Bernoulli o intentar una ves. Para ver el comportamiento de la probabilidad de que el primer éxito sea en un numero de intento mayor.
Ahora para responder las otras dos preguntas realice una gráfica con un programa que hicimos en la clase. El eje horizontal es el número de veces que se debe lanzar la moneda y el eje vertical es la probabilidad.
Como es observable es entre mas aumenta la cantidad de intentos mas improbable se vuelve que esa sea la del primer éxito.
versión continua - distribución exponencial
La distribución exponencial es la distribución que mide la probabilidad de que de dos eventos específicos y que ocurren regularmente sucedan uno de tras de otro con una diferencia de tiempo especifica = "x".
Los parámetros de la función son el tiempo "x" y la frecuencia con la que ocurre el evento en una unidad de tiempo que se representa con la letra griega lambda( λ).
La función de la densidad de la probabilidad es:
Una de las cosas que caracterizan esta distribución es que se dice que esta no tiene memoria. Esto quiere decir que
una vez esperados un tiempo "T" antes de un evento esto no quiere decir que el tiempo de espera para el siguiente evento vaya a disminuir, este sigue teniendo la misma distribución de probabilidad.
Para entender esta función modifique un programa que hicimos en clase para graficar esta el cuál es el siguiente:
function exponential(lambda, filename)
output = fopen(filename, "w");
prob = 1;
x = 1;
while (prob > 0.0)
prob = 1-exp( ((-1*lambda)*x) );
x++;
fprintf(output, "%d %f\n", x, prob);
endwhile
fclose(output);
endfunction
Y gráfique el siguiente ejemplo digamos que cada jugada en el juego entre David y Alice dura dos en promedio dos minutos entonces si nuestra unidad de tiempo son los minutos entonces se podria decir que se le entrega a David media carta por minuto osea que " λ = 0.5" así que para analizar esto hize la siguiente gráfica donde el eje vertical es la probabilidad y el horizontal el tiempo:
Como puede observarse al avanzar el tiempo la gráfica tiende a acercarse a uno lo cuál nos dice que entre más tiempo pase mas probable es que se lleve a cabo la siguiente partida.
referencias:
http://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%B3quer
http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad
http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad
Van los 5 en ambos rubros con la penalización -2 de retardo.
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