Estabilidad en mi sistema

Como tarea para esta semana en la clase de Automatización y control de sistemas dinámicos nos toca hacer un análisis de la estabilidad del sistema en el cual estamos trabajando.

Nuestro sistema
El sistema en el que estamos trabajando recordando publicaciones pasadas es el de controlar la altura de una pelota dentro de un tubo con un abanico utilizando como sensor para hacer nuestro sistema de lazo cerrado un sensor de ultrasónico en la parte superior del tubo.

Aquí el diagrama de bloques del sistema




Análisis de estabilidad

Como puede observarse en el diagrama de arriba la función de transferencia en el sistema es la siguiente:

Análisis de estabilidad con raíces

Utilizando valores j = 0.1 y b = 0.25 para tales variables en las ecuaciones utilice octave para obtener las raíces de la función del denominador de la función de transferencia, podemos utilizar estos valores de las raíces como referencia para saber si nuestro sistema es estable.

Código:

function Null = estabilidad_raices()
    num = [0 0 1];
    den = [0.1 0.25 0];
    [R, P, K] = residue(num, den)
    sys = tf(num, den);
    rlocus(sys);

endfunction

Salida:

octave:118> estabilidad_raices()
R =

   4
  -4

P =

   0.00000
  -2.50000

K = [](0x0)

utilizando la función "flocus" nos da la siguiente gráfica de la posición de las raíces:

Conclusión:
Según el criterio de estabilidad de Routh, la región para la cual el sistema es inestable es para la cual los valores reales de las raíces son valores positivos. Y como los valores reales de las raíces son uno negativo y el otro cero, se puede llegar a la conclusión de que el sistema es estable.

Gráfica de Bode

Código:

function Null = estabilidad_bode()
    num = [0 0 1];
    den = [0.1 0.25 0];
    sys = tf(num, den);
    bode(sys)

endfunction

Conclusión:
Un sistema es estable si RM < 1 para los grados = -180º y si RM = 1 para grados = -180º el sistema es inestable.


Gráfica de Nyquist

Código:

function Null = estabilidad_nyquist()
    num = [0 0 1];
    den = [0.1 0.25 0];
    sys = tf(num, den);
    nyquist(sys)

endfunction

Referencias:
http://www.slideshare.net/tonivi99/sistemas-de-control
http://materias.fi.uba.ar/7609/material/S1000Estabilidad.pdf