Laboratorio Automatización entrega 6

Para esta semana en el laboratorio de esta clase nos toco realizar otro problema del libro del cual se muestra su referencia en la parte inferior de este post, y este fue el problema que elegí:

Solución:

$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -5 & -6 \end{bmatrix} \\
B = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \\
C = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \\
D = 0$

$s = -2+j4, s = s-j4, s=-10$

La ganancia de retroalimentación debe cumplir con la siguiente regla:

$det(sI-A+BK) = (s+2-j4)(s+2+j4)(s+10) \\
= [s^{2} + (2+j4)s + (2-j4)s +20](s+10) \\
= [s^{2} + 4s +20](s+10) \\
= s^{3} + 4s^{2} + 20s + 10s^{2} + 40s + 200 \\
= s^{3}+14s^{2}+60s+200$


Ahora usaremos la misma regla para las matrices:
$det(sI-A+BK) =
s \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
- \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -5 & -6 \end{bmatrix}
+\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} k1 & k2 & k3 \end{bmatrix}$

$
det(sI-A+BK) =
\begin{bmatrix} s & 0 & 0 \\ 0 & s & 0 \\ 0 & 0 & s \end{bmatrix}
- \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -5 & -6 \end{bmatrix}
+ \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ k1 & k2 & k3 \end{bmatrix}$

$
det(sI-A+BK) = \begin{bmatrix} s & -1 & 0 \\ 0 & s & -1 \\ k1 & k2+5 & s+k3+6 \end{bmatrix}$

Podemos obtener los valores de k igualando las ecuaciones y sustituyendo valores en $s$ y evaluando:
$= s^{3} + (k3+6)s^{2} + (k2+5)s + k1 = s^{3}+14s^{2}+60s+200 \\
$para$ s = 0 \\
(0)^{3} + (k3+6)(0)^{2} + (k2+5)(0) + k1 = (0)^{3}+14(0)^{2}+60(0)+200 \\
k1 = 200 \\$


para $s = 1 \\
(1)^{3} + (k3+6)(1)^{2} + (k2+5)(1) + k1 = (1)^{3}+14(1)^{2}+60(1)+200 \\
= 1 + k3 + 6 + k2 + 5 + 200 = 1 + 14 + 60 + 200 \\
= k3 + k2 = 63 \\$


para $s = 2 \\
(2)^{3} + (k3+6)(2)^{2} + (k2+5)(2) + k1 = (2)^{3}+14(2)^{2}+60(2)+200 \\
= 8 + 4k3 + 24 + 2k2 + 10 + 200 = 8 + 28 + 120 + 200 \\
= 4k3 + 2k2 = 114 \\
= 2k3 + k2 = 57 \\$

$
k3 + k2 = 63 \\
-2k3 + -k2 = -57 \\
\overline{-k3 = -57}$

$k3 = 57$

$
k2 + 57 = 63 \\
k2 = 63-57 = 6$

Entonces los valores de $K$ son los siguientes:
$
k1 = 200 \\
k2 = 6\\
k3 = 57$

Respuesta a impulso unitario
Código:

function null =  lb6()
  A = [ 0 1 0; 0 0 1;-200 -6 -57];
  B = [0;0;1];
  C = [1 0 200];
  D = [0];
step(ss(A,B,C,D));
title('Respuesta impulso unitario');
endfunction

Referencias:

El problema fue sacado del libro:
Ogata, Katsuhiko. Modern Control Engineering / Katsuiko Ogata.
Tehran: A'eizh, 1381 = 2002.
964.: ill
Reprint of 4th ed. 2002, Prentice Hall, New Jersey.

 La solución la realice bazandome en la solución el problema 18.1 de los expuestos en esta página:
http://csd.newcastle.edu.au/solved_probs/wp18.pdf